校正一个FMCW激光测距系统

## 引言 激光测距其实想法非常简单。想知道物体离激光器有多远，我们只要发一束光过去，等它反射回来测一下时间就可以算出来。 问题在于，光速实在太快了。想测到厘米量级，时间分辨率就要来到几十皮秒。对于还在智斗vivado的我们来说，这个方案显然不太友好。 于是我们换一种思路，让时间差变成频率差，从而达到放慢时间的目的,用大家的电子系血液完成测距。这就是本文的主角，**FMCW 激光测距**。  图里这一桌东西，就是我们的实验系统。 ## 什么是 FMCW 激光测距？ FMCW 是 Frequency Modulated Continuous Wave，也就是调频连续波。顾名思义，它发的不是一个很短的脉冲，而是一束一直存在、频率不断变化的光。 不妨想象激光器正在按锯齿波扫频。某一时刻发出去的光，到镜子那里反射回来时，已经比本地的光晚了一点点。于是回波光和本振光重新相遇时，二者频率不完全相同，会在探测器上打出一个拍频。镜子越远，延迟越大，拍频也越高。 这样，距离就从“光跑了多久”变成了“频谱上的峰在哪里”。后者显然更适合交给 ADC、FFT 和电脑处理。  略过严格推导并不会影响后续阅读。只要记住一件事：理想情况下，目标距离和拍频位置成正比。扫频带宽越大，理论距离分辨率越好。我们实验里的激光器工作在 300 mA、25 ℃，5 V 峰峰值调制时扫频带宽大约 30 GHz，对应的理想距离分辨率约 1 cm。听起来已经很好了，对吧？ 在周期性锯齿波信号的激励下，激光器输出频率随时间线性变化，表达式为$f(t)=f_0+\frac{B}{T}t$，其中$f_0$为起始频率，$B$为扫频带宽，$T$为扫频周期。激光束通过分束器分成两路：一部分作为本振光衰减后直接进入探测器，另一部分经过自由空间传播到目标并反射回探测器。由于传播延时$\tau=2d/c$，回波光的频率为$f(t-\tau)=f_0+\frac{B}{T}(t-\tau)$。 两路光在探测器上发生干涉。由于光电二极管（PD）为平方律检波，因此 $$ I_{PD}(t)=\left|\vec E_1(t)+\vec E_2(t)\right|^2=\left|\vec E_1(t)\right|^2+\left|\vec E_2(t)\right|^2+\color{blue}{2\left|\vec E_1(t)\right|\left|\vec E_2(t)\right|}\sin\theta $$ 其中$\vec E_1(t)=\vec E_1\sin (2\pi f(t)\cdot t)$和$\vec E_2(t)=\vec E_2\sin (2\pi f(t-\tau)\cdot t)$分别为本振光和回波光的电场矢量，$\theta$为两束光的偏振角。前两项为直流项，主要由光强决定；第三项为交流项： $$ 2\left|\vec E_1(t)\right|\left|\vec E_2(t)\right|\sin\theta=\sin\theta E_1E_2\left(\cos[2\pi (f(t)-f(t-\tau))t]-\cos[2\pi (f(t)+f(t-\tau))t]\right) $$ 上式中$\cos[2\pi (f(t)+f(t-\tau))t]$等高频项将被模拟前端滤除，因此探测器收到信号为 $$ I_{PD}(t)=\underbrace{\frac{1}{2}\left|\vec E_1\right|^2+\frac{1}{2}\left|\vec E_2\right|^2}_{\text{直流项}}+\underbrace{\left|\vec E_1\right|\left|\vec E_2\right|\sin\theta\cos\left(2\pi(f(t)-f(t-\tau))t\right)}_{\text{交流项}} $$ 其中拍频$f(t)-f(t-\tau)=\frac{B}{T}\tau$与目标距离成正比。通过对交流项进行频谱分析，可以从拍频位置读取目标距离信息。频谱中将在连续时间频率 $$ \Omega=\frac{2\pi B}{T}\tau=\frac{2\pi B}{cT}\Delta_d $$ 处出现峰，其中$\Delta_d=d_0+2L$为两路光的光程差，$d_0$为系统内部光程差，$L$为目标距离。 由于激励信号一般由DAC提供，且假设DAC与ADC使用相同的采样率$f_s=\frac{1}{T_s}$，若DAC一个周期点数为$N$，$T=NT_s$，从而 $$ \Omega=\frac{2\pi B}{cN}\Delta_d\cdot f_s $$ 因此FFT频谱中该峰的位置为 $$ \omega=\frac{\Omega}{2\pi f_s}=\frac{B}{cN}\Delta_d $$ ## 问题一:有用信号被直流项淹没了 在普通单端PD里，探测器输出大致可以分成两部分。一部分是两束光自身强度带来的直流项，另一部分才是携带距离信息的拍频交流项。不幸的是，前者往往很大，后者往往很小。也就是说，探测器大部分动态范围都被一个“没什么用但很占地方”的直流背景吃掉了。  一个聪明的办法是把公共项消掉。 这就轮到平衡光电探测器(BPD)登场了。我们用 2×2 耦合器把两路光合成两路输出。由于耦合器引入的相位关系，两路输出中的直流强度项相同，而干涉项正负相反。两个光电二极管一相减，公共直流项被抵消，拍频项反而保留下来。根据光学耦合器件特性，其S参数为 $$ \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4 \end{bmatrix} = \mathbf S \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf S = \frac{1}{\sqrt2} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & j\\ 0 & 0 & j & 1\\ 1 & j & 0 & 0\\ j & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ 考虑实际使用中，3，4端口为出口，没有入射波。因此可以简化写出 $$ \begin{bmatrix} b_3\\ b_4 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt2} \begin{bmatrix} 1 & j\\ j & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix} $$ 令1，2端口输入光为$\vec E_1$和$\vec E_2$，则输出光为 $$ \begin{bmatrix}\vec E_3\\ \vec E_4 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 & j\\ j & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \vec E_1\\ \vec E_2 \end{bmatrix} $$ 因此两个PD的输出信号分别为 $$ \begin{aligned} I_+&=\left|\vec E_3\right|^2=\frac{1}{2}\left|\vec E_1\right|^2+\frac{1}{2}\left|\vec E_2\right|^2+\color{blue}{\left|\vec E_1\right|\left|\vec E_2\right|\sin\theta}\\ I_-&=\left|\vec E_4\right|^2=\frac{1}{2}\left|\vec E_1\right|^2+\frac{1}{2}\left|\vec E_2\right|^2-\color{blue}{\left|\vec E_1\right|\left|\vec E_2\right|\sin\theta} \end{aligned} $$ 因此差分信号为 $$ I_{out}=I_+-I_-={2\left|\vec E_1\right|\left|\vec E_2\right|\sin\theta} $$  这个操作非常符合《电子电路与系统基础》的思想：既然有共模干扰，那就差分。只不过这里差分的不是普通电压信号，而是两路光电流。 ## 问题二：激光器并不严格线性扫频 解决了直流项以后，事情还没有结束。FMCW 测距还有一个更根本的假设：激光器频率要随时间线性变化。 静态下，给激光器一个线性的调制电压，它的输出光频率也应该线性扫动。这样回波光和本振光的频率差就是一个稳定的拍频，FFT 里应该出现一个漂亮的尖峰。 然而实际激光器并不是一个理想的压控振荡器。电流、电压到光频率的动态响应存在非线性和滞后。于是我们给它一个直的输入，它回给我们一条弯的扫频曲线。频率扫不直，拍频就不再是单一频率，频谱峰会被压平而不好找。不同距离下，测量路频谱当然也会变化，但峰并不尖，位置也不够稳。对于一个靠“峰值脚标”读距离的系统来说，这就很痛苦。  这时就需要预失真。所谓预失真，就是先承认激光器会把输入弄弯，然后提前把输入往反方向弯一点。这样经过激光器自己的非线性之后，真正输出的光频率反而接近直线。  这个想法听起来像是在和激光器斗法。它弯一点，我们就反着弯一点强行掰直。问题在于，怎么知道它到底弯了多少？ 我们的办法是加一条参考延时干涉路。 激光器输出后，一小部分光被分到参考路里。它经过一段已知长度的光纤延时，再和自己干涉。这个参考路不负责测目标距离，它负责监视激光器扫频是否线性。注意到拍信号的相位可由瞬时拍频积分得到，即 $$ \phi_{\mathrm{beat}}(t)=2\pi\int_0^t f_{\mathrm{beat}}(\tau)\,\mathrm d\tau . $$ 假设激光经过一段已知延时 $\tau_m\ll T_{\mathrm{chirp}}$ 后与自身干涉形成监测拍信号，该延时可通过加入一段光纤实现，则监测拍频满足 $$ f_{\mathrm{beat},m}(t)=f_{\mathrm{chirp}}(t)-f_{\mathrm{chirp}}(t-\tau_m) \approx \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}f_{\mathrm{chirp}}(t)\cdot\tau_m . $$ 因此，其对应相位可写为 $$ \phi_{\mathrm{beat},m}(t) =2\pi\int_0^t \frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}f_{\mathrm{chirp}}(\tau)\cdot\tau_m\,\mathrm d\tau =2\pi\tau_m\bigl(f_{\mathrm{chirp}}(t)-f_{\mathrm{chirp}}(0)\bigr). $$ 若将扫频写成理想线性项与非线性项之和 $$ f_{\mathrm{chirp}}(t)=\frac{B}{T}t+f_{\mathrm{nl}}(t), $$ 并取 $f_{\mathrm{nl}}(0)=0$，则有 $$ \phi_{\mathrm{beat},m}(t) =2\pi\tau_m\left(\frac{B}{T}t+f_{\mathrm{nl}}(t)\right) =kt+\phi_{\mathrm{beat},m,\mathrm{nl}}(t) $$ 其中 $$ k=2\pi\tau_m\frac{B}{T}, \qquad \phi_{\mathrm{beat},m,\mathrm{nl}}(t)=2\pi\tau_m f_{\mathrm{nl}}(t). $$ 采到参考路拍信号后，上位机对它做希尔伯特变换，提取相位随时间的变化。理想扫频时，相位应该接近一条直线；实际相位偏离直线的部分，就可以认为是扫频非线性留下的痕迹。  于是我们得到一个非常朴素的迭代方案。第 k 轮用当前 DAC 码字驱动激光器，采参考路信号，算相位误差，然后把这部分误差按比例扣回下一轮 DAC 码字里。再扫，再采，再改。实验中我们测试了不同反馈系数，最后选用 p=20，迭代 15 轮。 实验里 DAC 每个周期有 16384 个码字点，采样率为 10 MHz。由于周期切换附近会有一些不太干净的数据，我们只取中间稳定的一段做分析。参考路使用约 4 m 光纤作为延时，对应延时约 13.3 ns。  ## FFT峰终于站起来了 先看没有预失真的情况。 预失真迭代之后，频谱的观感就舒服多了。峰明显变得集中，也更容易找到。此时再做测距，读数就不再像是在一团展宽频谱里猜答案。  可见参考路也能看到迭代确实在起作用！DAC 码字从原来的近似直线逐渐变成带补偿形状的曲线，相位演化曲线则越来越接近直线，参考路 FFT 里的峰也随着迭代逐渐集中。    最后看结果。在 1.7 m 左右的位置，未校正时测距误差约为 0.7 m；经过 15 轮预失真迭代后，误差降低到约 2.3 cm。进一步比较导轨刻度和 FFT 峰值脚标，整体线性关系也比较好，测距精度约 2.5 cm。  ## 结语 至此，我们已经得到了一台可以工作的 FMCW 激光测距系统。它并不完美，光路耦合、偏振漂移、寄生反射、激光器相位噪声都会继续影响结果。但这次实验已经说明了一件事：很多时候，测不准不是因为原理错了，而是因为原理里的“理想条件”在实验台上并不存在。 平衡探测负责把拍频从直流背景里救出来，参考延时干涉负责让扫频非线性变得可见，预失真迭代负责把这部分非线性一点点压下去。 从 0.7 m 到 2.3 cm，听起来像是一个很大的跨越。但拆开来看，它不过是把几个不理想因素逐个处理掉。信号干净一点，扫频直一点，FFT 峰尖一点，距离读数也就终于站稳了。