一道电电题：Buck电路的暂态和稳态

偶然看到有人讨论这道题，因此提出解答。 ## 题目 已知输入电压 $V_s(t)$ 为周期信号： $$ V_s(t)=\left\{ \begin{matrix} V_s & 0< t< DT_s \\ 0 & DT_s< t< T_s \end{matrix}\right. $$ 电路如图所示.  1. 以 $V_s(t)$ 为输入，$V_o(t)$ 为输出，求传递函数 $H(s)$。 2. 写出在以下两个时间区间内求 $v_o(t)$ 的微分方程： 1. $0< t< DT_s$ 1. $DT_s< t< T_s$ 3. 若初始条件为$i_L(0^+)=0,\quad v_C(0^+)=0$且$DT_s=\dfrac{L}{R}$ 求第一个 $T_s$ 周期内的 $v_o(t)$。 4. 一段时间后系统稳定，有$i_L(t)=i_L(t+T_s)$，求 $\bar{v}_L(t)$。 5. 已知稳定后，$v_o(t)\approx V$，由第 4 问结论，写出 $V$ 与 $V_s$ 的关系。 ## 解答 ### 第一问 ABCD相乘法(T参数相乘法）显然有 $$ \begin{aligned} T&=\begin{bmatrix} 1 &sL\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0\\ sC & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0\\ 1/R & 1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1+s^2CL &sL\\ sC & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0\\ 1/R & 1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1+s^2CL+\frac{L}{R}s&\ast\\ \ast&\ast \end{bmatrix} \end{aligned} $$ 由于是求电压传函，所以只关注A $$ H(s)=\frac{1}{A}=\frac{1}{1+s^2CL+\frac{L}{R}s} $$ 整理得到 $$ H(s)=\frac{1}{LC}\cdot\frac{1}{s^2+\frac{1}{RC}s+\frac{1}{LC}} $$ ### 第二问 微分方程直接带入 $$ V_s(s)H(s)=V_o(s)\,,s:=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} $$ $$ V_s(t)=LC\cdot\left(\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}V_o(t)+\frac{1}{RC}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}V_o(t)+\frac{1}{LC}V_o(t)\right) $$ 其中 $$ V_s(t)=\left\{ \begin{matrix} V_s & 0< t< DT_s \\ 0 & DT_s< t< T_s \end{matrix}\right. $$ ### 第三问 注意到第一个周期内，输入信号 $$ V_s(t)=V_s\cdot\left(u(t)-u(t-DT_S)\right) $$ 所以写出来阶跃响应就可以了。利用五要素法，对于单位阶跃激励$u(t)$ $$ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\,,\xi=\frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}} $$ $$ g_\infty(t)=1\,,g(0)=0\,,g'(0)=0 $$ 得到 $$ \begin{aligned} g(t)&=g_\infty(t)+\left(g(0)-g_\infty(0)\right)\exp\left(-\xi\omega_0t\right)\cos\left(\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t\right)\\ &+\left(g(0)-g_\infty(0)+\frac{\dot{g}(0)-\dot{g_\infty}(0)}{\xi\omega_0}\right)\\ &\cdot\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\exp\left(-\xi\omega_0t\right)\sin\left(\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t\right)\\ &=1-\exp\left(-\frac{1}{2RC}t\right)\cos\left(\sqrt{1-\frac{L}{4R^2C}}\frac{1}{\sqrt{LC}}t\right)\\ &-\cdot\frac{\frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}}}{\sqrt{1-\frac{L}{4R^2C}}}\exp\left(-\frac{1}{2RC}t\right)\sin\left(\sqrt{1-\frac{L}{4R^2C}}\frac{1}{\sqrt{LC}}t\right)\\ \end{aligned} $$ 带入 $$ V_o(t)=V_s\left(g(t)-g(t-\frac{L}{R})\right) $$ 得到 $$ \begin{aligned} V_o(t)&=V_s\left[-\exp\left(-\frac{1}{2RC}t\right)\cos\left(\sqrt{1-\frac{L}{4R^2C}}\frac{1}{\sqrt{LC}}t\right)\right.\\ &-\cdot\frac{\frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}}}{\sqrt{1-\frac{L}{4R^2C}}}\exp\left(-\frac{1}{2RC}t\right)\sin\left(\sqrt{1-\frac{L}{4R^2C}}\frac{1}{\sqrt{LC}}t\right)\\ &+\exp\left(-\frac{1}{2RC}(t-\frac{L}{R})\right)\cos\left(\sqrt{1-\frac{L}{4R^2C}}\frac{1}{\sqrt{LC}}(t-\frac{L}{R})\right)\\ &\left.+\cdot\frac{\frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}}}{\sqrt{1-\frac{L}{4R^2C}}}\exp\left(-\frac{1}{2RC}(t-\frac{L}{R})\right)\sin\left(\sqrt{1-\frac{L}{4R^2C}}\frac{1}{\sqrt{LC}}(t-\frac{L}{R})\right)\right] \end{aligned} $$ **注：理论上应该讨论过阻尼和临界阻尼，但是我决定糊弄过去了，反正~~sin里面也不一定是实数对吧~~** ### 第四问 从策略上其实应该先做这一问。因为其实我们用不到也懒得用上面这个东西。 考虑$t$很大的一个周期 $$ i_L(t+T)-i_L(t)=\int_{t}^{t+T}\frac{1}{L}\left(V_L(\tau)\right)\mathrm d\tau=0 $$ 因此 $$ \bar v_L=\int_{t}^{t+T}V_L(\tau)\mathrm d\tau/T=0 $$ ### 第五问 根据KVL有 $$ v_L+v_o=v_S $$ 积分一个周期得到 $$ (\bar v_L +V)T=\int_t^{t+T}v_S(\tau)\mathrm d\tau=DTV_S $$ 代入$\bar v_L=0$得到 $$ V=DV_S $$ ## 感受 感觉熟练掌握**五要素法**还是很关键的，能省不少事。