为什么网络双向化是分母减p_12p_21？

在《电子电路与系统基础》中我们学习过快速记忆zyhg参数表达的传递函数的方法。以h参量为例，只要先令网络单向($h_{12}=0$)写出 $$ \begin{aligned} H_{单向}=\frac{v_L}{v_S}&=\textcolor{blue}{\frac{i_{in}}{v_S}}\cdot \textcolor{red}{\frac{i_{out}}{i_{in}}}\cdot\textcolor{green}{\frac{v_L}{i_{out}}}\\\\ &=\textcolor{blue}{\frac{1}{R_S+h_{11}}}\cdot\textcolor{red}{-h_{21}}\cdot\textcolor{green}{\frac{1}{h_{22}+G_L}}\\\\ &=\frac{-h_{21}}{(R_S+h_{11})(h_{22}+G_{L})} \end{aligned} $$ 然后分母减去$h_{12}h_{21}$即可得到 $$ H_{双向}=\frac{-h_{21}}{(R_S+h_{11})(h_{22}+G_{L})\textcolor{green}{-h_{12}h_{21}}} $$ 就能随手推公式了。第一步单向网络从电路上是容易理解的，但为什么双向化之后是分母减去$p_{12}p_{21}$这么简单呢？只需要画出信号流图就可以轻松解释。考虑如下系统： $$ \begin{bmatrix} Y_1\\Y_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p_{11}&p_{12}\\ p_{21}&p_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X_1\\X_2 \end{bmatrix} $$ 同时有来自testbench的约束 $$ \begin{cases} X_1+w_SY_1=x\\ X_2+w_LY_2=0 \end{cases} $$ 即 $$ \begin{cases} X_1=-w_SY_1+x\\ X_2=-w_LY_2 \end{cases} $$ 以$X_1\,,X_2\,,Y_1\,,Y_2$为中间变量，对应的信号流图就是  不难写出其行列式为 $$ \begin{aligned} \Delta &= 1 - (-w_Sp_{11}) - (-w_Lp_{22})\\ &\textcolor{red}{-p_{12}p_{21}w_Sw_L} + p_{11}p_{22}w_Sw_L \end{aligned} $$ 而单向化后的信号流图如下  其行列式为 $$ \Delta = 1 - (-w_Sp_{11}) - (-w_Lp_{22})+ p_{11}p_{22}w_Sw_L $$ 可知，$p_{12}$带来的贡献就是图中红色的这个回路。  该回路与其余两个回路都接触，和唯一的前向通路也接触，且此边不参与任何前向通路。因此根据Mason公式 $$ H=\frac{1}{\Delta}\sum_k g_k\Delta_k $$ 该边不影响分子，只改变分母. 这也就解释了为什么求出单向网络传函之后只需要分母减去$p_{12}p_{21}$即可得到双向网络传递函数。